Si est une approximation de la solution U, alors, on a
Ainsi, au voisinage de U :
ce qui induit l'algorithme suivant :
avec la matrice jacobienne du système
initial (
).
Dans notre cas, R(U)=K(U)U-F et la matrice jacobienne est .
Cette méthode itérative est la méthode de Newton-Raphson (SOLUTION(N.R.=n)). Elle a une vitesse de convergence asymptotiquement quadratique. Malheureusement le rayon de convergence est faible, aussi, un bon choix de la solution initiale est essentiel.
L'inversion du jacobien à chaque itération est assez coûteuse. On peut ne l'inverser qu'une seule fois au début, ce qui conduit à ainsi la méthode dite de Newton-Raphson modifiée (M.N.).
Enfin, la version intermédiaire est la méthode quasi Newton où le jacobien est réactualisé à chaque itération (Q.N.).
